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初中数学教案范例

  初中数学教案范例 第五课时 课题 §2.2.3 配方法(三) 教学目标 (一)教学知识点 1.利用方程解决实际问题. 2.训练用配方法解题的技能. (二)能力训练要求 1.经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画 现实世界中数量关系的一个有效数学模型,增强学生的数学应用意识 和能力. 2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 3.进一步训练利用配方法解题的技能. 通过学生创设解决问题的方案,来培养其数学的应用意识和能 力,进而拓宽他们的思维空间,来激发其学习的主动积极性. 教学重点 利用方程解决实际问题 教学难点 对于开放性问题的解决,即如何设计方案 教学方法 分组讨论法 教具准备 投影片二张 第一张:练习(记作投影片§2.2.3 A) 第二张:实际问题(记作投影片§2.2.3 B) 教学过程 Ⅰ.巧设情景问题,引入新课 [师]通过上两节课的研究,我们会用配方法来解数字系数的一元 二次方程.下面我们通过练习来复习巩固一元二次方程的解法.(出 示投影片§2.2.3 A) 用配方法解下列一元二次方程: (1)x2+6x+8=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2-3x-7=0; (4)3x2-8x+4=0; (5)6x2-11x-10=0; (6)2x2+21x-11=0. [师]我们分组来做,第一、三、五组的同学做方程(1)、(3)、(5), 第二、四、六组的同学做方程(2)、(4)、(6). [师]各组做完了没有? [生齐声]做完了. [师]好,我们来交叉改一下,看看哪位同学批改得仔细,哪位同 学的方程解得全对. [生甲]我改的是××同学的,他做的是方程(1)、(3)、(5),方 程(1)解对了,答案是 x1=-2,x2=-4.解方程(3)时,在配方的时候, 他配错了,即 x2-3x-7=0, x2-3x=7, x2-3x+32=7+32 应为(- 3 )2. 2 [师]很好,这里一次项-3x 的系数-3 是奇数,所以应在方程两边 各加上(-3)的一半的平方,那方程(3)的正确答案是多少呢? [生乙]方程(3)的解为 x1= 3 + 2 37 , x2 = 3 ? 2 37 . [师]好,继续. [生丙]方程(5)的二次项系数不为 1,所以首先应把方程化为二 次项系数是 1 的形式,然后再应用配方进行求解.××同学解的对, 其解为 x1= 5 ,x2=- 3 . 2 2 [生丁]××同学做的是方程(2)、(4)、(6).他解的完全正确, 即 方程(2)的解:x1=5,x2=3, 方程(4)的解:x1=2,x2= 3 , 2 方程(6)的解:xl= 1 ,x2=-11. 2 [师]利用配方法求解方程时,一定要注意: ①方程的二次项系数不为 1 时,首先应把它化为二次项系数是 1 的形式,这是利用配方法求解方程的前提. ②配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是 方程的二次项系数为 1. 另外,大家在利用配方法求解方程时,要有一定的技能.这就需 要大家不仅要多练,而且还要动脑.尤其是在解决实际问题中. 这节课我们就来解决一个实际问题. Ⅱ.讲授新课 [师]看大屏幕.(出示投影片§ 2.2.3B)在一块长 16 m,宽 12 m 的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的 一半,你能给出设计方案吗? [师]大家仔细看题,弄清题意后,分组进行讨论,设计具体方案, 并说说你的想法. [生甲]我们组 的设计方案如右图 所示,其中花园四 周是小路,它们的 宽度都相等. 这样设计既美观又大方,通过列方程、解方程,可以得到小路的 宽度为 2 m 或 12 m. [师]噢,同学们来想一想,甲组的设计符合要求吗?如果符合, 请说明是如何列方程,又如何求解方程的;如果不符合,请说明理由. [生乙]甲组的设计符合要求. 我们可以假设小路的宽度为 x m,则根据题意,可得方程 (16-2x)(12-2x)= 1 ×16×12, 2 也就是 x2-14x-24=0. 然后利用配方法来求解这个方程,即 x2-14x+24=0, x2-14x=-24, x2-14x+72=-24+72, (x-7)2=25, x-7=±5, 即 x-7=5,x-7=-5. ∴x1=12.x2=2. 因此,小路的宽度为 2 m 或 12 m. 由以上所述知:甲组的设计方案符合要求. [生丙]不对,因为荒地的宽度是 12 m,所以小路的宽度绝对不能 为 12 m.因此甲组设计的方案不太准确,应更正为:花园四周的小 路的宽度只能是 2 m. [师]大家来作判断,谁说的合乎实际? [生齐声]丙同学说得有理. [师]好,一般地来说:在解一元一次方程时,只要题目、方程及 解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题 的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列的一元二次方 程,但未必符合实际问题.因此,解完一元二次方程之后,不要急于 下结论,而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解.这一点,丙 同学做得很好,大家要学习他从多方面考虑问题.接下来,我们来看 其他组设计的方案. [生丁]我们组 的设计方案如右图. 我们是以矩形 的四个顶点为圆心,以约 5.5 m 长为半径画了四个相同的扇形,则 矩形除四个相同的扇形以外的地方就可作为花园的场地. 因为四个相同的扇形拼凑在一起正好是一个圆,即四个相同扇形 的面积之和恰为一个圆的面积,假设其半径为 x m,根据题意,可得 πx2= 1 ×12×16. 2 解得 x=± 96 ≈±5.5. π 因为半径为正数,所以 x=-5.5 应舍去.因此,由以上所述可 知,我们组设计的方案符合要求. [生戊]由丁同 学组的启发,我又 设计了一个方案, 如右图. 以矩形的对角 线 m 长为半径在矩形中间画一个圆,这个圆 也可作为花园的场地. [生己]老师,我也设计了一个方案,图形与戊同学的一样,他是 把圆作为花园的场地,而我是把圆以外的荒地作为花园的场地,圆内 以备盖房子. [师]同学们设计的方案都很好,并能触类旁通,真棒.其他组怎 么样? [生庚]我们组 设计的方案如右图. 顺次连结矩形 各边的中点,所 得到的四边形即 是作为花园的场 地. 因为矩形的四个顶点处的直角三角形都全等,每个直角三角形的 面积是 24 m2(即 1 ×6×8),所以四个直角三角形的面积之和为 96 m2, 2 则剩下的面积也正好是 96 m2,即等于矩形面积的一半.因此这个设 计方案也符合要求. [生辛]我们组设计的方案如下图. 图中的阴影部分可作为建花园的场所. 因为阴影部分的面积为 96 m2,正好是矩形面积的一半,所以这 个设计也符合要求. [生丑]我们组 设计的方案如右图. 图中的阴影部 分可作为建花园的 场地. 经计算,它符合要求. [生癸]我们组的设计方案如下图. 图中的阴影部分是作为建花园的场地. [师]噢,同学们能帮癸组求出图中的 x 吗? [生]能,根据题意,可得方程 2× 1 (16-x)(12-x) 2 = 1 ×16×12, 2 即 x2-28x+96=0, x2-28x=-96, x2-28x+142=-96+142, (x-14)2=100, x-14=±10. ∴x1=24,x2=4. 因为矩形的长为 16 m,所以 x1=24 不符合题意.因此图中的 x 只能为 4 m. [师]同学们真棒,通过大家的努力,设计了这么多在矩形荒地上 建花园的方案. 接下来,我们再来看一个设计方案. Ⅲ.课堂练习 (一)课本 P55 随堂练习 1 1.小颖的设计方案如图所示,你能帮助她求出图中的 x 吗? 解:根据题意,得 (16-x)(12-x)= 1 ×16×12, 2 即 x2-28x+96=0. 解这个方程,得 x1=4,x2=24(舍去). 所以 x=4. (二)看课本 P53~P54,然后小结. Ⅳ.课时小结 本节课我们通过列方程解决实际问题,进一步了解了一元二次方 程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,并且知道在解决 实际问题时,要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 另外,还应注意用配方法解题的技能. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P55 习题 2.5 1、2 (二)1.预习内容:P56~P57 2.预习提纲 如何推导一元二次方程的求根公式. Ⅵ.活动与探究 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停 住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重 要因素,在一个限速 40 千米/时以内的弯道上,甲、乙两车相向而 行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场测得甲车的 刹车距离为 12 米,乙车的刹车距离超过 10 米,但小于 12 米,查有 关资料知,甲种车的刹车距离 S 甲(米)与车速 x(千米/时)之间有下 列关系:S 甲=0.1x+0.01x2;乙种车的刹车距离 S 乙(米)与车速 x(千 米/时)的关系如下图所示. 请你就两车的速度方面分析相碰的原因. [过程]通过对本题的研究、探讨,让学生体会数学与现实生活紧 密相连. 由甲车的刹车距离和车速的关系式 S 甲=0.1x+0.01x2,又 S 甲 =12,从而可求得甲 车速度,对乙车而言,从图象上知刹车距离与车速是成正比例函数关 系,因而可设为 x 乙=kx,又其过点(60,15),从而得到 k 值,由 10s 乙12,可得乙车车速,进而可确定事故的原因. [结果] 解:对于甲车: ∵甲车刹车距离为 12 米,根据题意,得 12=0.1x+0.01x2. 解这个方程,得 x1=30 或 x2=-40(舍去), 即甲车的车速为 30 千米/时,不超过限速. 对于乙车: 由图象知,其关系是一个正比例函数,设此函数为 x 乙=kx ∵经过点(60,15),∴15=60k, ∴k= 1 ,即此函数解析式为 S 乙= 1 x 4 4 根据题意,得 10 1 x12. 4 ∴40x48. ∴乙车超过限速 40 千米/时的规定. ∴就速度方面分析,两车相碰的原因在于乙车超速行驶. 板书设计 §2.2.3 配方法(三) 一、实际问题的设计方案: 设计方案一: 设计方案二: 设计方案三: 设计方案四: 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业

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